Un distribuidor entrega 13200 cajas de conservas, trabajando de lunes a sábado, de la siguiente manera: la primera semana 100 cajas diarias, y, a partir de la segunda semana, la entrega se incrementa en 300 cajas por semana. ¿Cuántos días transcurrieron para completar la entrega, si comenzó un día lunes? A) 48 B) 55 C) 36 D) 49 E) 50

Sabemos que el distribuidor entrega un total de 13,200 cajas. Nos dicen que trabaja de lunes a sábado y que la primera semana entrega 100 cajas diarias. Como trabaja seis días por semana, entonces en toda la primera semana entregará

100 * 6 = 600

cajas. A partir de la segunda semana, la entrega se incrementa en 300 cajas por semana. Por lo tanto, en la segunda semana se reparten

600 + 300 = 900

cajas y en la tercera semana se reparten

900 + 300 = 1,200

cajas, y así sucesivamente.

La pregunta del problema es determinar cuántos días transcurrieron para completar la entrega, sabiendo que se comenzó un día lunes. Con los datos que tenemos, podemos plantear la siguiente relación: si sumamos lo que se repartió cada semana, al final debemos tener las 13,200 cajas que se han repartido. Entonces, esta suma es igual a 13,200.

De aquí, deberíamos determinar el número de semanas porque, sabiendo el número de semanas, será fácil hallar el número de días que han transcurrido para completar la entrega. Todos estos números tienen un factor común de 300. Entonces, la cantidad de cajas que se repartieron la última semana son

300 * x

, donde x es el número de la última semana.

Lo que tenemos aquí es una ecuación donde tenemos una sumatoria de números sucesivos desde 2 hasta x. Para reducir esta sumatoria, debemos recordar la siguiente fórmula: si queremos sumar los números naturales desde uno hasta n, sabemos que esa suma es igual al último número multiplicado por el siguiente y dividido entre 2.

Como aquí la sumatoria empieza por dos, tenemos que completarla. Entonces, si sumamos lo que se repartió cada semana, al final debemos tener las 13,200 cajas que se han repartido. Entonces, esta suma es igual a 13,200.

Ahora, de aquí, nosotros deberíamos determinar el número de semanas porque, sabiendo el número de semanas, será fácil hallar el número de días que han transcurrido para completar la entrega. Entonces, tenemos que

x(x + 1) = 90

. Aquí tenemos dos números sucesivos que se están multiplicando. Entonces, por comparación simple, deducimos que x tendría que ser 9 porque

x + 1

vendría a ser igual a 10.

Entonces, recordamos que x era el último término aquí. Si lo reemplazamos por 9, el número de semanas debe ser 8. Y ahora lo que tenemos que hacer es contar los días porque la pregunta es cuántos días transcurrieron.

Entonces, sabemos que se empieza a trabajar el día lunes y se trabaja hasta el día sábado. En la segunda semana también se empieza a trabajar el día lunes y se trabaja hasta el día sábado, y así sucesivamente en la octava semana. Entonces, ocurre lo mismo: se empieza a trabajar el día lunes hasta el día sábado.

Pero cuando contamos la cantidad de días, habrían no 12 días sino 13 días porque tendríamos que contar el día domingo. Y entonces podemos contar los siete días de la semana. Sabemos que son ocho semanas, entonces el total de días serían

7 x 8 = 56

. Pero ocurre que estaríamos contando hasta el último domingo de la semana 8, pero no debemos contar ese domingo porque el reparto de las cajas se terminó el día sábado. No necesitamos contar el domingo de la semana 8, por eso a esta cantidad le restamos 1.

Entonces,

56 - 1 = 55

. Eso quiere decir que han transcurrido 55 días para completar la distribución de las 13,200 cajas. La respuesta se encuentra en la alternativa B.