La secretaría de educación municipal requiere la provisión de 29 cargos docentes en las siguientes áreas: 13 profesores en matemáticas, 13 profesores en física y 15 en sistemas. Para el cubrimiento de los cargos se requiere que: 6 dicten matemáticas y física, 4 dicten física y sistemas y 5 profesores dicten matemáticas y sistemas. Determinar: a) ¿Cuántos profesores se requiere que dicten las 3 áreas? b) ¿Cuántos profesores se requiere para dictar matemáticas únicamente? c) ¿Cuántos profesores se requiere para dictar matemáticas y sistemas pero no física?

Para resolver este problema, podemos usar la teoría de conjuntos y diagramas de Venn. Aquí está la solución:

Primero, definamos los siguientes conjuntos:

• M: Conjunto de profesores que dictan matemáticas.
• F: Conjunto de profesores que dictan física.
• S: Conjunto de profesores que dictan sistemas.

De la información dada, tenemos lo siguiente:

1. |M| = 13 (número de profesores que dictan matemáticas)
2. |F| = 13 (número de profesores que dictan física)
3. |S| = 15 (número de profesores que dictan sistemas)
4. |M ∩ F| = 6 (número de profesores que dictan matemáticas y física)
5. |F ∩ S| = 4 (número de profesores que dictan física y sistemas)
6. |M ∩ S| = 5 (número de profesores que dictan matemáticas y sistemas)

A partir de estos datos, podemos calcular lo siguiente:

a) Para encontrar el número de profesores que se requiere que dicten las 3 áreas (|M ∩ F ∩ S|), necesitamos restar las personas que dictan dos áreas del total de personas que dictan cada área.

|M ∩ F ∩ S| = |M ∩ F| + |F ∩ S| + |M ∩ S| - |M| - |F| - |S| + 29 = 6 + 4 + 5 - 13 - 13 - 15 + 29 = 3 profesores.

b) Para encontrar el número de profesores que se requiere para dictar matemáticas únicamente (|M - (F ∪ S)|), necesitamos restar las personas que dictan matemáticas y otra área del total de personas que dictan matemáticas.

|M - (F ∪ S)| = |M| - |M ∩ F| - |M ∩ S| + |M ∩ F ∩ S| = 13 - 6 - 5 + 3 = 5 profesores.

c) Para encontrar el número de profesores que se requiere para dictar matemáticas y sistemas pero no física (|M ∩ S - F|), necesitamos restar las personas que dictan las tres áreas del total de personas que dictan matemáticas y sistemas.

|M ∩ S - F| = |M ∩ S| - |M ∩ F ∩ S| = 5 - 3 = 2 profesores.

Por lo tanto, las respuestas a las preguntas son: a) Se requiere que 3 profesores dicten las 3 áreas. b) Se requiere que 5 profesores dicten matemáticas únicamente. c) Se requiere que 2 profesores dicten matemáticas y sistemas pero no física.