Dado que $$x = \log_{\frac{1}{3}} \left(3 \cdot \sqrt[3]{81}\right)$$, podemos usar la definición de logaritmo para convertir esto en una ecuación exponencial:
$$\left(\frac{1}{3}\right)^x = 3 \cdot \sqrt[3]{81}$$
Ahora, simplifiquemos el lado derecho de la ecuación. Sabemos que $$81 = 3^4$$, por lo que $$\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^4} = 3^{4/3}$$. Entonces, la ecuación se convierte en:
$$\left(\frac{1}{3}\right)^x = 3 \cdot 3^{4/3} = 3^{1 + 4/3} = 3^{7/3}$$
Para resolver esta ecuación, necesitamos igualar las bases. Podemos reescribir $$\frac{1}{3}$$ como $$3^{-1}$$, por lo que la ecuación se convierte en:
$$3^{-x} = 3^{7/3}$$
Dado que las bases son iguales, los exponentes también deben ser iguales. Por lo tanto, tenemos que $$-x = \frac{7}{3}$$. Multiplicando ambos lados por $$-1$$, obtenemos la solución:
$$x = -\frac{7}{3}$$
