Para resolver este problema, necesitamos entender cómo funcionan las cifras terminales en las potencias. En particular, nos interesa la cifra de las unidades de los números 117 y 314 elevados a cualquier potencia.
Observemos las cifras de las unidades de algunas potencias de 7 (la cifra de las unidades de 117) y de 4 (la cifra de las unidades de 314):
- Potencias de 7: 7^1 = 7, 7^2 = 49, 7^3 = 343, 7^4 = 2401, 7^5 = 16807, …
- Potencias de 4: 4^1 = 4, 4^2 = 16, 4^3 = 64, 4^4 = 256, 4^5 = 1024, …
Como puedes ver, las cifras de las unidades de las potencias de 7 siguen un patrón que se repite cada 4 términos: 7, 9, 3, 1, y luego vuelve a empezar. De manera similar, las cifras de las unidades de las potencias de 4 se repiten cada 2 términos: 4, 6, y luego vuelve a empezar.
Por lo tanto, para encontrar la cifra de las unidades de 117^314, buscamos el residuo de dividir 314 entre 4, que es 2. Por lo tanto, la segunda cifra en el patrón de 7 es 9.
Para encontrar la cifra de las unidades de 314^117, buscamos el residuo de dividir 117 entre 2, que es 1. Por lo tanto, la primera cifra en el patrón de 4 es 4.
Finalmente, multiplicamos estas dos cifras de las unidades para obtener la cifra de las unidades del número M. Por lo tanto, la cifra de las unidades de M = (117314)*(314117) es 9*4 = 36, y como solo nos interesa la cifra de las unidades, el resultado es 6.