En un aula de clase se sabe que 22 estudiantes prefieren lenguaje, 24 estudiantes prefieren matemática y 20 prefieren biología. Si los que prefieren al menos una asignatura son 35 y los que prefieren solamente una asignatura son 5. ¿Cuántos prefieren las tres asignaturas? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

Análisis de estudiantes que prefieren asignaturas

Problema:

Determinar la cantidad de estudiantes que prefieren exactamente una asignatura (Lenguaje, Matemática o Biología) en base a la información proporcionada sobre preferencias de asignaturas múltiples y totales.

Datos:

• Existen 22 estudiantes menos que prefieren dos o más asignaturas que los que prefieren solo una.
• Se conocen las cantidades de estudiantes que prefieren combinaciones específicas de asignaturas:
  • Lenguaje y Matemática (pero no Biología): a estudiantes.
  • Matemática y Biología (pero no Lenguaje): b estudiantes.
  • Biología y Lenguaje (pero no Matemática): c estudiantes.
  • Las tres asignaturas: x estudiantes.
• La cantidad total de estudiantes que prefieren al menos una asignatura es de 35.

Ecuaciones:

1. Ecuación principal:

   • 61 = 2(a + b + c) + 3x - Esta ecuación relaciona la cantidad de estudiantes que prefieren una sola asignatura con la cantidad de estudiantes que prefieren combinaciones específicas y el total de estudiantes que prefieren al menos una asignatura.

2. Ecuación de estudiantes que prefieren una sola asignatura:

   • 22 - (a + c + x) = estudiantes que solo prefieren Lenguaje
   • 24 - (a + b + x) = estudiantes que solo prefieren Matemática
   • 20 - (b + c + x) = estudiantes que solo prefieren Biología
   • Sumando las ecuaciones anteriores:
     • 66 - 2(a + b + c) - 3x = 5

3. Ecuación de estudiantes que prefieren al menos una asignatura:

   • 22 + 24 + 20 - (a + b + c + x) = 35

Solución:

1. Despejar x en la ecuación principal:
   • Sustituir la ecuación de estudiantes que prefieren una sola asignatura en la ecuación principal:
     • 61 = 2(31) - 3x
     • 61 = 62 - 3x
     • x = 1

Resultado:

• 1 estudiante prefiere las tres asignaturas (Lenguaje, Matemática y Biología).

Explicación:

• Se analizaron las ecuaciones proporcionadas para determinar la cantidad de estudiantes que prefieren exactamente una asignatura.
• Se despejó la variable x en la ecuación principal, la cual representa la cantidad de estudiantes que prefieren las tres asignaturas.
• El resultado final indica que 1 estudiante prefiere las tres asignaturas.

------------------------

Otro método:

Para resolver este problema, podemos utilizar el principio de inclusión-exclusión. Primero, establecemos que:
|A| = 22 (los que prefieren lenguaje)
|B| = 24 (los que prefieren matemática)
|C| = 20 (los que prefieren biología)
|A ∪ B ∪ C| = 35 (los que prefieren al menos una asignatura)
|A ∩ B ∩ C| = x (los que prefieren las tres asignaturas)
|A ∩ B| = y (los que prefieren lenguaje y matemática)
|A ∩ C| = z (los que prefieren lenguaje y biología)
|B ∩ C| = w (los que prefieren matemática y biología)
Usando la información de los que prefieren solamente una asignatura, podemos obtener que:
|A| - y - z = 5
|B| - y - w = 5
|C| - z - w = 5
Despejando y, z, y w, tenemos:
y = |A| - 5 - z = 17
z = |A| - 5 - y = 0
w = |C| - 5 - z = 15
Sustituyendo estos valores en la fórmula del principio de inclusión-exclusión, obtenemos:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
35 = 22 + 24 + 20 - 17 - 0 - 15 + x
Resolviendo para x, obtenemos:
x = 1
Por lo tanto, solo una persona prefiere las tres asignaturas.