Querido amigo, cuando nos enfrentamos a un problema de optimización como este, donde se nos pide encontrar el valor mínimo de una función, debemos ser pacientes y cuidadosos en nuestro análisis. Veamos juntos cómo podemos resolver este reto.
La función que se nos presenta es $$f(x) = 8^{(3x^2 - 4|x|)}$$,
donde $$x$$ pertenece al conjunto de los números reales. Nuestra tarea es
encontrar el valor mínimo de esta función.
Comencemos por examinar la estructura de la función.
Observamos que se trata de una función exponencial, donde la variable $$x$$
aparece en el exponente. Para encontrar el valor mínimo, debemos buscar el
valor del exponente que sea el más pequeño.
Veamos cómo podemos simplificar el exponente. Podemos
reescribir $$3x^2 - 4|x|$$ de la siguiente manera: $$3|x|^2 - 4|x|$$. Esto se
debe a que, independientemente del signo de $$x$$, el valor absoluto de $$x$$
elevado al cuadrado siempre será positivo.
Ahora, aplicaremos el método de completar el cuadrado para
simplificar aún más la expresión. Tenemos:
$$3|x|^2 - 4|x| = 3\left(|x| - \frac{4}{6}\right)^2 -
\frac{16}{9}$$
Observa que el término dentro del paréntesis siempre será
positivo, ya que se trata de un valor absoluto. Por lo tanto, el valor mínimo
de esta expresión será cuando $$|x| - \frac{4}{6} = 0$$, es decir, cuando $$|x|
= \frac{4}{6}$$.
Sustituyendo este resultado en la función original, tenemos:
$$f(x) = 8^{(3\cdot\left(\frac{4}{6}\right)^2 -
4\cdot\frac{4}{6})} = 8^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{16}$$
¡Eureka! Hemos encontrado el valor mínimo de la función, que
es $$\frac{1}{16}$$
Recuerda, amigo mío, que la clave para resolver problemas de
optimización como este radica en la capacidad de simplificar y manipular las
expresiones matemáticas de manera cuidadosa y sistemática. Con paciencia y
determinación, podrás superar cualquier desafío que se te presente.